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用体积转换法解题_论文

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。 潘 锦 明  解答某些立体 几何问题 时, 能依据题 设条件及  棱锥的体积之和 , 如 进而使本题巧妙地 获解 。   三 棱 锥 可 换 底 的几 何 特 征 对 所 求 几 何 体 进 行 合理 的 体  例 2 如 图 2 已知 A C —   , BD   积转换 , 可使 这些 问题 的解答 简捷 、 明快 、 独辟 蹊径 。 A B CDl 棱 长 为 0的 正 方 体 ,A   l1  是   现 举 例 解析 如下 。   例 1 如 图 1 在 空 间 四 面 体    , A C 中 , 对棱 A BD 若 B上C 且 A   D, B= 。 C =b E ,D , F是 这 两 条 异 面 直 线  A C 的公垂 线 , E B, D 且 F=d 求 该  , 四 面体 的体 积 。   D  E, F分别 为 A   C   中点 , 四 E A ,C 的 求   棱 锥 A E F 的体 积 。  一 B D.   解 析 : 为 E :B =F  : 因 B F D   r— — — — — —— — — —   一  A   图2   。  = E √ + ) 。。 E故 边  。(  5, ∥B 四 形 2号 =-。 , F 1   E F   菱 形 , 结 层 则 △E   △E D,注 意 到 三  BD 是 连 F, 船 F , 棱 锥 A E B与 三 棱锥 A E D  一 F  ~ F  的 高 相 等 ,   故  ,  =   一 = I 一    一  m 2 一 2, ㈣ 。 f 解 析 : 图 1, 笫 E ED, 为 EF 是 异 回 直 线   如 连 C, 凼 A C 的 公 垂线 , 以  LA   B,D 所 B。 因为 A B ̄C 故 A L C 因而问题 转化 为求  D, B_ 面E D, 以 面 E D 为底 , C A和 B为 顶 点 的 两 个 三 棱 锥 的 体 积 之   。3 又 为  = A? =  则   = 因 5  E A { 2  一    B , 。   和 ̄- 上 ,s  ∞? =  ,fFC则 眦 = E ÷ = D E   F 嵌v   =v   … n+V   = s     ?( E + A   所 一 = 一= 一。 。 以   2   2 = 3   地  吉。   点评 : 本题若直接 求解 则较为 困难 , 里应用 “ 这 体  积转换 ” 的思 想将 此四棱锥 的体 积转化 为两个全 等的  E :s A  d B ÷  B 。 ) =   点评 : 题 若 直 接 求 解 则 较 为 闲难 , 坦 利 用  三棱锥 的体积之和 , 本 这 进而再将 不容易求 体积 的三棱锥  “ ” 割 的思想将 此蔓棱 锥 的体积转 化 为两个 同底 的 =  转化为容易求解体积的三棱锥 , 三 从而使问题获解。   5 高中生之友2 1 12 2【 0 1 - *朐     刊] 囝 数 导   g编@3   学 学 zy1芽 s 周. 责y6m z 瑜 y c z o 例 3 如图 3 在正方体 A C — 111 中, F , B D A B C Dl E,  例 4 如 图 4 在正 三棱锥  , 分别 为 B   c 的 中点 , A .:2, 三 棱 锥 F — S— B B ,D 若 A 求   A C中 , 三条侧棱长 均为 1  , AE   体积 。  D 的   且两两 互 相垂 直 , 该 三棱 锥 A 求   C  解析 : A 取 B的中点为 G, 连结  G G E, D1 A1   , G, Al   c 的 内切球 的半径 。 ,     图4   解析 : 内切球的球心为 0, 设 内切球的半径为 r 则  , C 三 棱 锥 的 体 积 转 化 为 以 0为 顶 点 , 切 球 的半 径 r   内 为  高, 四个 侧 面 为底 的 三 棱 锥 的体 积 之 和 ,   因为 F / 。 lA DI G/ A D , 1   C* 面  A D1 F f* 面 A Dl   l E, GL l E, A   故 F / ̄ C/ A D。   l E, 图3   注 到  : : : 5 :   意 s s s ÷,  , 肼  。     而  删 = 1S    圳 -S =   C  1 … = 所以点 F到* 面 A D E的距离 等 于点 G到 * 面     A Dl 距 离 , 1 E的   即  =V   c = 1 ^E 。   _I   G r:  r,   一 ÷  ? J   s 肌 = 又 因为 A  =   A 2, 故 s A G:L 方 △1 s   l —J  G一 S M1 = 3 E   ^ s l △ 2△ G  。  ÷  . , s rr =  ,   所 以 由  — =V 一 +3 o   0 c V  所  以 =, = ‘ ?D l     ÷ 。 。=  s A  。 可  ( 詈r = 。 得= )      +  r 点评 : 本题若 直接求解 则较为 冗繁 , 这里用 “ 体积  转 换 的思 想 将 此 三棱 锥 的体 积 转 化 为 四 个 等 高 的 三  到 * 面  口  的距 离 , 这 样 做 较 为 困 难 。 这 里 应 用  棱 锥 t 但 的体 积 之 和 , 而 建 立 关 于 内 切 球 的 半 径  的 方  进 “ 体积转换 ” 问 题 得 以巧 妙 地 转化 , 而 使本 题 简  将 进 程 , 不 容 易 解 决 的 问题 简 捷 、 妙 地 解 决 。 将 巧   捷、 明快地获解 。   ( 者单位 : 作 江苏省大 丰市南阳高级中学 )   点评 : 题 若直 接求 解 , 先求


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