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甘肃省白银市二中2018届高三数学下学期第二次模拟试题 文

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甘肃省白银市二中 2018 届高三数学下学期第二次模拟试题 文
注意事项: 1 .答 题 前 ,先 将 自 己 的 姓 名 、准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ,并 将 准 考 证 号
条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3 .非 选 择 题 的 作 答 :用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。写 在 试 题 卷 、
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1.[2018·江西联考]设集合

A



x

x 1 2x

≥0



B

1,0,1, 2

,则

A

B(



A. 1, 0,1

B.0,1, 2

C.1,0,1, 2

D. 1, 2

2.[2018·马鞍山期末]已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,则甲 组数据的*均数为( )

A.30

B.31

C.32

D.33

y≥0

3.[2018·菏泽联考]设

x

,y

满足约束条件



x



y



1≥0

,则 z 4x 3y 的最大值为(



x y 3≤0

A.3

B.9

C.12

D.15

4.[2018·渭南质检]一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积是( )

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A. 1

B. 1

C. 2

D.1

2

3

3

5.[2018·济宁期末]已知 a 0 , b 0 ,并且 1 , 1 , 1 成等差数列,则 a 9b 的最小值 a2b

为( )

A.16

B.9

C.5

D.4

6.[2018·濮阳一模]函数

f

x





1 2

x2





1 2

x2



1 2

的图象大致为(



A.

B.

C.

D.

7.[2018·武邑中学]将曲线

C1

:

y



sin



x



6



上各点的横坐标缩短到原来的

1 2

倍,纵坐标

不变,再把得到的曲线向左*移

2

个单位长度,得到曲线

C2

:

y



g



x

,则

g



x



,

0



的单调递增区间是( )

A.



5 6

,



6



B.



2 3

,



6



C.



2 3

,

0

D.

,



6



8.[2018·厦门期末]*总书记在十九大报告中指出:坚定文化自信,推动社会主义文化繁荣

兴盛.如图,“大衍数列”:0,2,4,8,12 来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”

的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图

是求大衍数列前 n 项和的程序框图.执行该程序框图,输入 m 8 ,则输出的 S ( )

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A.44

B.68

C.100

D.140

9.[2018·闽侯八中]正项等比数列an 中的 a1 ,

a4031 是函数

f

x



1 3

x3

4x2

6x

3的

极值点,则 log a6 2016 ( )

A.1

B. 2

C. 1

D. 2

10.[2018·玉林联考]若自然数 n 使得作竖式加法 n n 1 n 2 均不产生进位现象,则

称 n 为“开心数”.例如:32 是“开心数”.因 32 33 34 不产生进位现象;23 不是“开

心数”,因 23 24 25 产生进位现象,那么,小于 100 的“开心数”的个数为( )

A.9

B.10

C.11

D.12

11.[2018·乌鲁木齐一诊]设函数

f

x



ex



x



3 x

3

a x

,若不等式

f

x≤0

有正实数

解,则实数 a 的最小值为( )

A.3

B.2

C. e2

D. e

12.[2018·通州期末]如图,各棱长均为1的正三棱柱 ABC A1B1C1 , M , N 分别为线段

A1B ,B1C 上的动点,若点 M ,N 所在直线与*面 ACC1A1 不相交,点 O 为 MN 中点,则 O
点的轨迹的长度是( )

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A. 2 2

B. 3 2

C.1

D. 2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
13.[2018·南通调研]已知复数 z 1 4i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的实部为_________. 1i
14.[2018·临川一中]已知圆 过点 A5,1 , B5,3, C 1,1 ,则圆 的圆心到直线 l :

x 2y 1 0 的距离为__________.

15.[2018·嘉兴期末]在锐角 △ABC 中,内角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,若 C 2B ,

则 c 的取值范围是________. b

16.[2018·晋城一模]已知

F1



F2

是双曲线

x2 a2



y2 b2

1(a

0,b



0) 的左,右焦点,点 P 在

双曲线的右支上,如果 PF1 t PF2 t 1,3 ,则双曲线经过一、三象限的渐*线的斜率的
取值范围是__________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分,每个试题 12 分.

17.[2018·辽师附中]已知

m





cos

x 4

,1

,n





3sin

x ,cos2 4

x 4



,设函数

f

x



mn



(1)求函数 f x 的单调增区间;

(2)设△ABC 的内角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c ,且 a ,b ,c 成等比数列,求
f B 的取值范围.

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18.[2018·临川一中]海盗船是一种绕水*轴往复摆动的游乐项目,因其外形仿照古代海盗

船而得名.现有甲、乙两游乐场统计了一天 6 个时间点参与海盗船游玩的游客数量,具体数

据如表:

时间点

8点

10 点

12 点

14 点

16 点

18 点

甲游乐场

10

3

12

6

12

20

乙游乐场

13

4

3

2

6

19

(1)从所给 6 个时间点中任选一个,求参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少的

概率;

(2)记甲、乙两游乐场 6 个时间点参与海盗船游玩的游客数量分别为 xi ,y(i i 1, 2,3, 4,5, 6 ),

现从该 6 个时间点中任取 2 个,求恰有 1 个时间点满足 xi yi 的概率.

19.[2018·云师附中]在三棱柱 ABC A1B1C1 中,AB BC CA AA1 2 ,侧棱 AA1 *



ABC,且

D,E

分别是棱

A1B1,A1 A1 的中点,点

F

在棱

AB

上,且

AF



1 4

AB



(1)求证: EF∥*面 BDC1 ;

(2)求三棱锥 D BEC1 的体积.

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20.[2018·沧州质检]对于椭圆

x2 a2



y2 b2

1 a

b



0 ,有如下性质:若点 x0, y0 是椭圆

上的点,则椭圆在该点处的切线方程为

x0 x a2



y0 y b2

1 .利用此结论解答下列问题.点 Q 1,

3 2



是椭圆 C :

x2 a2



y2 b2

1(a

b

0) 上的点,并且椭圆在点 Q 处的切线斜率为

1 2



(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若动点 P 在直线 x y 3 上,经过点 P 的直线 m , n 与椭圆 C 相切,切点分别为 M ,

N .求证:直线 MN 必经过一定点.

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21.[2018·陕西一模]已知函数 f x ex a x 1,其中 a 0 , e 为自然对数底数. (1)求函数 f x 的单调区间; (2)已知 b R ,若函数 f x≥b 对任意 x R 都成立,求 ab 的最大值.
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(二)选考题(共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所 做第一题计分) 22.[2018·广元一模]选修 4-4:坐标系与参数方程

在*面直角坐标系

xOy

中,曲线

C

的参数方程为



x

y

4cos a 4sin

a

2


a

为参数),以

O

为极点,

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 R .
6

(1)求曲线 C 的极坐标方程;

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 AB 的值.

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23.[2018·会宁一中]选修 4—5:不等式选讲
已知 x,y,z (0, ) , x y z=3 . (1)求 1 1 1 的最小值 xyz
(2)证明: 3≤x2+y2+z2 .

文科数学答案

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.
1.【答案】A

【 解 析 】 由 题 意 得

A

x

2x 1x ≥0

=

x

x x

1 2

≤0



x 1≤x 2

,∴

A B 1,0,1.选 A.

2.【答案】B
【解析】阅读茎叶图可知乙组的中位数为: 32 34 33 ,结合题意可知:甲组的中位数为 2
33,即 m 3 ,则甲组数据的*均数为: 24 33 36 31 .本题选择 B 选项. 3
3.【答案】C

【解析】所以,过 3, 0 时, z 4x 3y 取得最大值为 12.故选 C.

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4.【答案】B

【解析】根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形,高为 1 的三棱锥,故得到体积为:

1 1 211 1 .故答案为:B.

32

3

5.【答案】A

【解析】∵ 1 , 1 , 1 成等差数列,∴ 1 1 1.

a2b

ab



a 9b





a



9b



1 a



1 b

10

a b



9b≥10 2 a

a 9b 16 , 当 且 仅 当 a 9b

ba

ba



1 1 1,即 a 4 , b 4 时等号成立.选 A.

ab

3

6.【答案】C

【解析】

f





x







1 2





x2





1 2





x2



1 2





1 2



x2





1 2



x2

1 2



f

x ,所以函数是偶

函数,关于 y 轴对称,排除 A、D,当 x 2 时, f 2 9 0 ,排除 B,故选 C.
16
7.【答案】B

【解析】由题意

g



x



sin

2



x



2





6





sin



2x



6





2k ≤2x ≤2k 3 , k Z , k ≤x≤k 5 , k Z , k 1 时 ,

2

6

2

3

6

2≤x≤ ,故选 B.

3

6

8.【答案】C

【解析】第 1 次运行, n 1 , a n2 1 0 , S 0 0 0 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 2 次运行, n 2, a n2 2, S 0 2 2 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 3 次运行, n 3, a n2 1 4, S 4 2 6 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 4 次运行, n 4, a n2 8, S 8 6 14 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 5 次运行, n 5, a n2 1 12, S 14 12 26 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

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第 6 次运行, n 6, a n2 18, S 26 18 44 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 7 次运行, n 7, a n2 1 24, S 24 44 68 ,不符合 n≥m,继续运行; 2

第 8 次运行, n 8, a n2 32, S 68 32 100 ,符合 n≥m,退出运行,输出 S 100 ; 2

故选 C.

9.【答案】A

【解析】令 f

x



x2

8x 6 0 ,故

x1



x2

8



a1

a4031 ,x1 x2



6



a1 a4031



a2 2016



故 log a6 2016 log6a22016 log6 6 1.
10.【答案】D

【解析】根据题意个位数需要满足要求:∵ n n 1 n 2 10 ,即 n 2.3 ,∴个位数

可取 0,1,2 三个数,∵十位数需要满足: 3n 10 ,∴ n 3.3 ,∴十位可以取 0,1,2,3
四个数,故小于 100 的“开心数”共有 3×4=12 个.故选:D.

11.【答案】D

【解析】原问题等价于 a≥ex x2 3x 3 ,令 g x ex x2 3x 3 ,则 a≥g xmin , 而 g x ex x2 x , 由 g x 0 可 得 : x,0 1, , 由 g x 0 可 得 :

x 0,1,据此可知,函数 g x 在区间 0, 上的最小值为 g 1 e ,综上可得:实数 a

的最小值为 e .本题选择 D 选项. 12.【答案】B 【解析】由题意,

点 M ,N 所在直线与*面 ACC1A1 不相交,则 MN∥*面 ACC1A1 ,过 M 作 MQ∥AA1 交 AB
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于 Q ,过 Q 作 QH∥AC ,连结 NH ,得 NH∥BB1 , BB1∥AA1 , NH∥MQ ,则*面 MQHN∥*面 ACC1A1 ,则 MN ∥*面 ACC1A1 ,因为 M 为线段 A1B 上的动点,所以这样

的 MN 有无数条,其中 MN 中点 O 的轨迹的长度等于底面正△ABC 的高 3 ,故选 B. 2

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.【答案】 3 2

【解析】 z 1 4i = 1 4i1 i 3 5i ,所以复数 z 的实部为 3 .

1i

2

2

2

14.【答案】 5 5

【解析】由题知,圆心坐标为 2, 2 ,则 d 1 5 .
55

15.【答案】 2, 3

【解析】因为 C 2B ,所以 sinC sin2B 2sinBcosB ,c 2bcosB , c 2cosB ,因 b

为 锐 角 △ABC , 所 以 0 B , 0 C 2B , 0 A C B 3B ,

2

2

2

6



B



4

, cosB



2, 2

3 2





c b



2, 3 .

16.【答案】 0, 3

【解析】由双曲线的定义及题意可得



PF1

PF2

2a

PF1 t PF2

,解得



PF1



PF2

2at t 1
2a t 1





PF1



PF2 ≥2c ,所以

PF1



PF2

2at 2a ≥2c ,整理得 e c ≤t 1 1 2 ,

t 1 t 1

a t 1 t 1

∵ 1 t≤3

, ∴ 1

2 ≥2 t 1

, ∴ 1 e≤2

.又

b2 a2



c2 a2 a2



e2

1 ,∴

0



b2 a2

≤3

,故

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0 b≤ 3. a
∴双曲线经过一、三象限的渐*线的斜率的取值范围是 0, 3 .答案: 0, 3 .
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每 个试题考生都必须作答.第 22、23 为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分,每个试题 12 分.

17.【答案】(1)

4k





4 3

,4k





2 3





k



Z

;(2)

1,

3 2

1



【解析】(1)f



x



m



n





cos

x 4

,1



3

sin

x ,cos2 4

x 4





sin



x 2



6





1 2

,·····3



令 2k ≤ x ≤2k ,则 4k 4 ≤x≤4k 2 , k Z ,

2 26

2

3

3

所以函数

f

x 单调递增区间为

4k



4,4k 3

2 3



k

Z .·······6



(2)由 b2 ac 可知 cosB a2 c2 b2 a2 c2 ac ≥ 2ac ac 1 (当且仅当 a c 时

2ac

2ac

2ac 2

取等号),·······8 分

所以 0 B≤ , B ≤ ,1 f B≤ 3 1 ,

3 6 26 3

2


综上 f B 的取值范围为 1,

3 2

1

.·······12



18.【答案】(1) 1 ;(2) 8 .

3

15

【解析】(1)事件“参与海盗船游玩的游客数量甲游乐场比乙游乐场少”的情况有 8 点、10

点两个时间点,总共有 6 个时间点,所以所求概率为 P 2 1 ;·······6 分 63

(2)依题意, xi yi 有 4 个时间点,记为 A , B ,C , D ; xi yi 有 2 个时间点,记为 a ,

b;

故从 6 个时间点中任取 2 个,所有的基本事件为 A, B , A,C , A, D , A, a , A,b ,

B,C ,B, D ,B,a ,B,b ,C, D ,C,a ,C,b,D,a ,D,b ,a,b共

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15 种,······9 分

其中满足条件的为 A, a , A,b ,B, a ,B,b ,C, a ,C,b,D, a ,D,b 共 8

种,
故所求概率 P 8 .·······12 分 15
19.【答案】(1)见解析;(2) 3 . 2

·······11 分

【解析】(1)取 AB 的中点 O,连接 A1O , AF 1 AB , 4
F 为 AO 的中点,又 E 为 AA1 的中点,

EF∥A1O ,

A1D



1 2

A1B1



BO



1 2

AB



AB

=∥

A1B1

A1D =∥ BO ·······2 分

四边形 A1DBO 为*行四边形,·······3 分

A1O∥BD ,·······4 分

EF∥BD,又 EF *面 BDC1 , BD *面 BDC1 ,

EF∥*面 BDC1 .·······6 分

2 AA1 *面 A1B1C1 , C1D *面 A1B1C1 ,

AA1 C1D ,

A1C1 B1C1 A1B1 2,D 为 A1B1 的中点,

C1D A1B1,C1D 3 ,

又 AA1 *面 AA1B1B , A1B1 *面 AA1B1B , AA1 A1B1 A1 ,

C1D *面 AA1B1B ,·······8 分

AB AA1 2 , D , E 分别为 A1B1 , AA1 的中点,

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S△BDE



22



1 1 2 2

1 1 2 2

1 11 2

3 2



1

13

VD BEC1

VC1BDE



3 S△BDE

C1D



32

3

3 .·······12 分 2

20.【答案】(1)

x2 4



y2 3

1 (2)直线 MN

必经过一定点



4 3

,1

【解析】(1)∵椭圆 C

在点 Q 处的切线方程为 x a2



3y 2b2

1,

其斜率为 2b2 1 , 3a2 2

∴ 3a2 4b2 .·······1 分

又点 Q 在椭圆上,



1 a2



9 4b2

1 .·······2



解得 a2 4 , b2 3 .

∴椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ;·······4 分 43

(2)设 P x0, y0 , M x1, y1 , N x2, y2 ,

则切线 m : x1x y1y 1 ,切线 n : x2x y2 y 1 .·······6 分

43

43

∵ m, n 都经过点 P ,

∴ x1x0 y1 y0 1 , x2 x0 y2 y0 1.

43

43

即直线 MN 的方程为 x0 x y0 y 1 .·······7 分 43

又 x0 y0 3,·······8 分

∴ x0x 3 x0 y 1,

4

3

即 3x 4y x0 12y 12 0 .·······10 分



3x 4 y 0, 12y 12 0,





x





4 3

,

y 1.

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∴直线

MN

必经过一定点



4 3

,1

.·······12



21.【答案】(1)函数 f x 的单调递增区间为 lna, ,单调递减区间为 ,lna .(2)e3 .
2
【解析】(1)因为 f x ex a ,因为 a 0 ,由 f x 0 得 x lna ,·······1

所以当 x,lna 时, f x 0 , f x 单调递减;

当 xlna, 时, f x 0, f x 单调递增.

综上可得,函数 f x 的单调递增区间为 lna, ,单调递减区间为 ,lna .····4

(2)因为 a 0 ,由函数 f x≥b 对任意 x R 都成立,得 b≤f x , min
因为 f x f lna 2a alna ,所以 b≤2a alna .·······6 分 min
所以 ab≤2a2 a2 ln a ,

设 g a 2a2 a2lna(a 0) ,

所以 ga 4a 2a lna a 3a 2alna ,·······8 分



a



0 ,令

ga



0

,得 lna



3



a



3
e2



2



a





0,

3
e2



时,

ga



0



g

a

单调递增;





a





e

3 2

,





时,

g



a





0



g



a



单调递减.·······10







所以 g a



e3

,即 ab 的最大值为

e3

,此时 a



3
e2 ,b



1

3
e2

.·······12



max 2

2

2

(二)选考题(共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所 做第一题计分)

22.【答案】(1) 2 4 cos 12 0 (2) AB 6

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【解析】(1)将方程

x

y

4cos a 4sin

a

2

消去参数

a



x2



y2



4x

12



0



∴曲线 C 的普通方程为 x2 y2 4x 12 0 ,·······12 分

将 x2 y2 2 , x cos 代入上式可得 2 4cos 12 ,

∴曲线 C 的极坐标方程为: 2 4 cos 12 0 .·······5 分

(2)设

A,

B

两点的极坐标方程分别为



1,

6









2

,

6





2 4 cos 12







6

消去 得 2 2 3 12 0 ,·······7 分

根据题意可得 1 , 2 是方程 2 2 3 12 0 的两根,

∴ 1 2 2 3 , 12 12 ,

∴ AB 1 2 1 2 2 212 6 .·······10 分
23.【答案】(1)3; (2)证明见解析.

【解析】(1)因为 x y z≥33 xyz 0 , 1 1 1≥ 3 0 , x y z 3 xyz

所以



x



y



z





1 x



1 y



1 z

≥9

,即

1 x



1 y



1 z

≥3



当且仅当 x y z 1时等号成立,此时 1 1 1 取得最小值 3.·······5 分 xyz

x2 y2 z2 x2 y2 y2 z2 z2 x2
(2) x2 y2 z2 3

≥ x2 y2 z2 2 xy yz zx
3

x y z2 3 .·······10 分
3

呵呵复活复活复活



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